¿Cine en clase de matemáticas?… también

El pensamiento humano se basa en estructuras matemáticas, de modo que cualquier campo de su actividad puede ser considerado en clave matemática. Así ocurre con el cine. Los docentes pueden aprovecharlo como recurso didáctico novedoso y motivador, siempre con una finalidad didáctica que sea la que oriente sus decisiones sobre cómo y cuándo hacerlo.

Hay matemáticas en el cine

La presencia de las matemáticas en largometrajes y teleseries (en adelante ambas modalidades las pasaremos a denominar genéricamente "el cine") se produce de diferentes formas:

• Hay personajes que son matemáticos. Salvo excepciones, suelen ser presentados adornados por tópicos recurrentes y reduccionistas que oscilan entre lo caricaturesco y lo hiriente: hombres casi siempre, grandes calculadores, obsesivos, despistados y abstraídos respecto del mundo que les rodea, torpes en habilidades sociales e incluso mentalmente perjudicados (Una mente maravillosa, Pi. Fe en el caos, Proof, etc.). Un detalle de ambiente les acompaña, donde hay un matemático hay una pizarra repleta de símbolos (en ocasiones sin sentido matemático).
• En algunos casos se habla explícitamente de las matemáticas como conocimiento abstracto, no de su uso cotidiano, lo cual no siempre es garantía de acierto. Por ejemplo, en El Viginiano (Stuart Gilmore, 1946) una maestra yerra en el cálculo con fracciones; y en el doblaje español de El mejor (Shana Feste, 2009) se confunde un logaritmo con una integral, mientras que en el doblaje latino se confunde con una ecuación.

Aunque también hay casos de celo matemático, siendo tal vez el más notorio el que se da en el episodio El prisionero de Benda de la serie Futurama creada por Matt Groening. El guionista Ken Keeler, doctor en Matemáticas, demostró el Teorema de Inversión sobre permutaciones (ya conocido como el “Teorema de Futurama”), para resolver una situación planteada en el episodio y lo mostró en una pizarra durante una secuencia, a la par que lo publicó en la revista de la American Physical Society.

• La presencia más abundante de matemáticas en pantalla se da en ambientes escolares. Los recuerdos de infancia y adolescencia del protagonista (Amarcord, Cinema Paradiso, Adiós muchachos, etc.) muchas veces transcurren en la clase de Matemáticas, enfatizando el divorcio entre el descubrimiento de la vida por aquel y la distante frialdad de ésta. En estos casos hay dos tópicos, un profesorado temible y la angustia del examen, frente a la cual se despliegan variadas estrategias de copia.
• Se usan matemáticas en la elaboración de imágenes fractales, especialmente útiles en la simulación de fluidos como llamas, inundaciones, etc. Se consiguen así efectos verosímiles con gran economía de medios, al sustituir otras técnicas más costosas por procesos iterativos (simples fórmulas al fin) automatizados.

En 1982, La ira de Khan (Star Trek II. Nicholas Meyer) presentó por vez primera un escenario fractal en la pantalla de cine. Era el planeta Génesis, recreado de forma muy sencilla en comparación con los efectos actuales. Desde entonces, se hace un uso creciente de los fractales en las películas, para generar escenarios fantásticos o para conseguir efectos naturales. Ejemplos de ambos usos se encuentran en El Señor de los Anillos (Peter Jackson, 2001–2003) y en Up (P. Docter y B. Peterson para Pixar, 2009). La princesa Elsa en Frozen (C. Buck y J. Lee para Disney, 2009) canta “Mi alma es una espiral de fractales congelados alrededor”, mientras alza su geométrico palacio de hielo.

• Se recurre a las matemáticas en títulos y carteles. Pueden ser películas que luego nada tengan de matemático, como sucede en La ecuación del amor y la muerte (Cao Baoping, 2008); o tratarse tan sólo de metáforas descriptivas, como ocurre en Symetria (Konrad Niewolski, 2003).
• La geometría está presente en planos y escenarios donde los directores aprovechan sus valores estético, simbólico y expresivo. En algunos maestros del cine esa presencia geométrica ha llegado a ser un elemento esencial. Así, por ejemplo: el perfeccionista y recurrente uso de la simetría con punto de fuga que hacía Stanley Kubrick; la omnipresencia de las espirales en Vértigo de Alfred Hitchcock (1958); los ángulos agudos del universo amenazante de El gabinete del Doctor Caligari (Robert Wienner, 1920); la ortogonalidad alienadora de la modernidad de acero y cristal en Playtime (Jacques Tati, 1958); etc.

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  Aunque en ellas no se hable de matemáticas ni tal enfoque haya pasado por la mente de guionistas ni directores, algunas escenas se entienden mejor, o de otra manera, cuando las vemos con una mirada matemática. Un caso emblemático es el duelo final de El bueno, el feo y el malo (Sergio Leone. 1966) analizado desde el cálculo de probabilidades. Otro tanto haremos más adelante con una escena de Superman II (Richard Lester, 1980) desde el álgebra y la cinemática. Esa lúdica mirada matemática revela la imposibilidad de algunos mitos cinematográficos como King Kong o Drácula. No se trata de rechazar esas películas míticas, argumentando la obvia inexistencia de esos seres fantásticos, sino de usarlos como pretexto para practicar el juego matemático esencial, suponer y deducir.

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  En el cine se cometen muchos errores atemáticos en razonamientos prácticos. Una escena de Cabiria (Giovanni Pastrone, 1914) nos muestra que esos errores tienen historia, en un doble sentido: Cabiria es el primer peplum del cine y en la citada escena se recrea la invención por Arquímedes de los espejos parabólicos como arma de guerra frente a las naves romanas. El sabio de Siracusa dibuja una supuesta parábola con una semicircunferencia cuyos extremos prolonga mediante dos semirrectas...

• Pero la presencia matemática en el cine más frecuente, como en la vida real, no es deliberada sino que viene provocada por el hecho insoslayable de que los personajes deben resolver problemas. Y la resolución de problemas es el terreno propio del pensamiento matemático. Esos problemas pueden plantearse en situaciones extremas
  de acción y riesgo, como en Misión Imposible III (J.J. Abrams, 2006) y en Jungla de cristal III: La venganza (John MacTiernan, 1995); aunque también son problemas cotidianos de gente normal, amorosos o banales incluso, como en Dos colgaos muy fumaos. Fuga de Guantánamo (Jon Hurwitz y Hayden Schlossberg, 2008) y en Dime con cuántos (Mark Mylod, 2011).

¿Qué matemáticas?

La presencia de las matemáticas en el cine es desigual si nos referimos a los contenidos. Suele tratarse de simples cálculos aritméticos, las cuentas del día a día, con frecuentes errores (como en la vida misma), de los que no están exentas algunas buenas películas. Por ejemplo, en El bazar de las sorpresas (Ernest Lubitsch, 1940) el jefe de ventas (James Stewart) yerra con un porcentaje al calcular un precio en rebajas.

Si se trata de mostrar el genio matemático del protagonista, a menudo se le suele presentar como una “calculadora humana”, identificando de forma equívoca el pensamiento matemático con el cálculo. Así se hace con el joven talento protagonista (Jim Sturges) de 21 Black Jack  (Robert Luketic, 2008)... ¡y también se equivoca!

Para otros fines especiales se recurre a los números primos, a la serie de Fibonacci o al número π, tal vez por ser los conceptos matemáticos más sofisticados al alcance del ciudadano medio; puede tratarse de claves esotéricas e incluso de comunicación extraterrestre, como en Contact (Robert Zemeckis, 1997) y en Red Planet Mars (Harry Horner, 1952).

El cálculo de probabilidades es citado ante decisiones difíciles, en situaciones de riesgo.

Así, en La última noche de Boris Grushenko (Woody Allen, 1975):

Boris: Sonia, mañana voy a batirme en duelo... si por algún milagro no me matan, ¿te casarás conmigo? Sonia (pensativa antes de responder): ¿Qué probabilidades crees que hay?

La geometría tiene poca presencia y casi siempre en pizarras escolares. El cálculo diferencial, también en pizarras, pero ahora de científicos, como elemento exclusivo de una élite intelectual. Y la estadística en el cine no queda bien parada; aparece poco y con fines espurios, como medio de manipulación social (como por ejemplo en The Wire, serie creada por David Simon) o como objeto de chascarrillos. En El apartamento (Billy Wilder, 1960), Baxter (Jack Lemmon) y Fran (Shirley MacLaine) mantienen este diálogo de ascensor:

Baxter: He estado leyendo una estadística sobre accidentes y enfermedades. El ciudadano neoyorkino entre los 20 y los 50 tiene dos resfriados y medio por año.
Fran: ¡Qué gran responsabilidad la mía!
Baxter: ¿Por qué?
Fran: Porque como yo no me resfrío, para que no fallen las estadísticas otro infeliz ha de tener cinco resfriados.

Cine en clase de Matemáticas... ¿por qué?

Lo que no interesa no se comprende. A veces lo que interesa tampoco se comprende, pero desde la desafección será muy difícil alcanzar el conocimiento. Como docente pronto constaté esa realidad que ya había vivido como alumno (cuántas veces nos convendría seguir aquel consejo que dice “recuerda el alumno que eras”...) y me propuse captar la atención de los estudiantes dando entrada en el aula a la sorpresa. Evitar que las clases sean una rutina previsible, para lo cual no es necesario reinventarlo todo sino que basta con introducir elementos no tradicionales que, por nuevos caminos, nos lleven hacia las matemáticas.

En la clase así entendida sigue habiendo explicaciones, ejercicios, repasos y exámenes (por lo tanto no tiemblan los pilares de la tradición académica)... pero también caben esos otros caminos no convencionales, que a menudo confluyen. Pueden ser, entre otros, el análisis matemático de las noticias de prensa y de la publicidad; resolver problemas geométricos fuera del aula; la fotografía matemática como expresión y como fuente de sugerencias y situaciones a explorar; las tablas de cálculo mental; los concursos matemáticos, de participación individual o en grupo, de problemas, de microrelatos, de sondeos, de radionovelas incluso; la recreación de situaciones que en la historia de las matemáticas propiciaron ideas decisivas; las rutas y gymkhanas matemáticas por la ciudad; las lecturas matemáticas; los juegos matemáticos, especialmente en temas áridos como son el cálculo con decimales o las operaciones con expresiones algebraicas; los trucos de “magia” basados en álgebra y combinatoria; los trabajos de campo estadísticos; la experimentación en azar y en geometría; la manipulación de materiales geométricos, sean específicamente didácticos u objetos de uso cotidiano; el blog de aula colectivo; explorar la geometría dinámica con Geogebra; la didáctica basada en relatos; etc. Y también el cine, como se afirma en este artículo desde su propio título. Es un “cajón de sastre” donde cabe casi todo, siempre que se oriente hacia el objetivo deseado: que el alumno se apropie de las matemáticas como un elemento más, integrado en su mundo, y no se enfrente a
ellas como algo hostil.

Dice Aubanell (2014): “Particulariza la clase. Cada día puede ser especial: una efeméride, una idea nueva que hoy trataremos, un problema muy interesante, un material sorprendente, una dinámica de trabajo diferente...”. Se trata de ofrecer esa particularidad del día como un regalo que llevamos al aula. Si creemos en ello y por lo tanto somos creíbles, como tal regalo será recibida por el alumnado.

Es desde ese punto de vista que propongo usar el cine en clase de Matemáticas. La propuesta puede encontrar el rechazo de quien objeta: “Pero las matemáticas son algo importante y reflexivo y el cine es un pasatiempo”. A este respecto, declaro mi convencimiento de que lo importante no debe confundirse con lo aburrido (confusión que lleva al fatal olvido de la didáctica y justifica algunas incompetencias docentes). Y también, que lo divertido no tiene por qué ser trivial.

Pero hay más razones, específicas para el cine:

• Aporta credibilidad desde la ficción. Algo paradójico, pues todos sabemos que el cine es mentira, pero real dada su importancia social.
• El cine facilita “Formular, emplear e interpretar las matemáticas en diferentes contextos”, enfoque éste recomendado en el tan valorado Informe PISA.
• El cine permite vincular las matemáticas con las emociones, la aventura, la intriga, el humor... con la vida. Así se vencen tópicos antipáticos muy arraigados en la población que ve las matemáticas como algo ajeno, incluso amenazante.

Cine en clase de Matemáticas... ¿cómo?

Antes de dar un uso didáctico al cine en las clases de Matemáticas, conviene reflexionar y decidir sobre algunas cuestiones previas:

• No basta con que haya matemáticas para que una película sea apta para el aula. Hay que estar seguros de que su aportación es pertinente y que no contiene elementos indeseados. A este respecto, no cultivemos los prejuicios antimatemáticos que demasiadas
  veces se fomentan en el cine. Por ejemplo, que “las matemáticas son para inteligentes” y que “aquellos a quienes les gustan las matemáticas son gente rara, incluso algo loca”.
  

Si queremos transmitir el mensaje de que “las matemáticas son necesarias para todos
y en cualquier etapa de la vida”, tal vez no convengan películas donde son utilizadas por matemáticos o en ambientes escolares y sean preferibles otras vinculadas a la acción, la aventura, el amor, la risa, la vida cotidiana, etc.

• Hay que escoger entre dos modalidades de uso donde el tiempo establece la diferencia: ver una película completa o escenas aisladas.

Una película completa exige más tiempo y rara vez ofrece núcleos de interés matemático en todo su desarrollo. Sólo conozco dos casos donde me parece justificada esa opción: La habitación de Fermat (L. Piedrahita y R. Sopeña, 2007) y Marte (Ridley Scott, 2015). Ambas se basan en la resolución de problemas, acertijos en la primera y situaciones problemáticas en la segunda. Puede verse La habitación de Fermat parando el vídeo ante cada nueva prueba para su resolución en el aula y posterior continuación. Sin embargo en Marte los problemas se extienden a lo largo de la película y se entrelazan en el tiempo, por lo que conviene verla íntegramente para después volver sobre ellos y plantearlos uno a uno.

Mi opción, que también es la más común, consiste en utilizar escenas. Pienso que debe aplicarse en el momento adecuado, con escenas que en sí mismas, de forma aislada, tengan un significado comprensible y que refuercen nuestros objetivos pedagógicos. Después, plantear cuestiones a partir de la escena, siendo muy conveniente que de sus conclusiones quede un registro escrito.

• ¿Qué tipos de aprovechamiento podemos dar a esas películas o escenas? Fundamentalmente son cuatro:

- Motivar conceptos.
- Repasar lo aprendido.
- Resolver problemas planteados o sugeridos.
- Detectar errores matemáticos.

• ¿Con qué alumnos puede ser adecuada esta propuesta? Con los alumnos de cualquier edad, siempre que haya concordancia entre su capacidad de comprensión y el nivel de lectura que requiere la escena.
• ¿Cuándo y con qué frecuencia llevar el cine a nuestras clases? El comienzo o el final del período lectivo suelen ser los momentos idóneos, pero sólo cuando sea posible y adecuado. No olvidemos que es un recurso más y como tal no se debe sobredimensionar.

Mi experiencia ha sido de una vez al mes (aproximadamente) por grupo, con una duración de 5 a 30 min. (incluyendo la escena y la actividad posterior).

Desde 2004 han proliferado suficientes publicaciones que glosan y desarrollan esta propuesta (ver Bibliografía), con las que los docentes pueden encontrar allanado el camino para su puesta en práctica.

Tres ejemplos

A continuación se comentan tres ejemplos de aplicación de la anterior propuesta.

El mundo está loco, loco, loco (Stanley Kramer, 1963)

Nivel: 5º y 6º de Primaria.

Tema: Fracciones.

Contenidos: Tablas de datos. Fracciones equivalentes. Comparación de fracciones con igual denominador y de fracciones con igual numerador.

Argumento: Cuatro vehículos paran en la carretera para auxiliar tras un accidente. Hay un camión y 3 coches. En el camión va sólo su conductor, que ha bajado en auxilio de la víctima. En el coche blanco viajan 3 personas, pero sólo ha bajado una de ellas. En el coche azul hay dos ocupantes y sólo ha bajado uno de ellos. En el coche rojo viajan dos personas y las dos han bajado. El accidentado fallece pero antes revela el escondite de una fortuna. Se establece la discusión acerca del criterio con que harán el reparto: según los vehículos, según los viajeros o según los que bajaron a auxiliar al accidentado.

Cuestiones:
a) Explica por qué, en un momento de la discusión, uno de los presentes dice con ironía: “Se conformarían con 2/8 en lugar de 1/4... ¡Oh, muy amable de su parte!”.
b) Se han propuesto tres repartos diferentes. Exprésalos mediante una tabla de datos donde se vean las fracciones que corresponden a cada vehículo según cuál de los tres repartos se haga.
c) ¿Cuál de los tres repartos es el que mejor conviene a los ocupantes de cada vehículo?

Comentario:
En esta escena los personajes se enfrentan a un problema y sopesan varias soluciones. Los alumnos deben resolver la situación obteniendo primero los datos necesarios, para después organizar el análisis de casos mediante una tabla de doble entrada. La operatoria final con
fracciones es ya rutinaria (sombreada, la mejor opción para los ocupantes de cada vehículo).

Superman II (Richard Lester, 1980)

Nivel: 3º y 4º de ESO.

Tema: Álgebra.

Contenidos: Ley de caída de los cuerpos. Cinemática. Ecuaciones de primer grado y de segundo grado incompleta. Conversión de unidades.

Argumento: Un niño travieso juega peligrosamente en la barandilla del mirador sobre las cataratas del Niágara y cae al vacío. Los turistas que allí se encuentran gritan horrorizados, mientras el niño cae y cae entre las espumas. Clark Kent, que había ido a comprar unos hot
dogs, corre lejos de la vista de los demás y reaparece como Superman. Mientras, el niño sigue cayendo... La gente corre a la barandilla y ven que Superman emprende el vuelo al rescate. Y el niño sigue cayendo... Superman llega a la altura del niño, aún por encima de las aguas, y lo toma en brazos. Asciende con el niño y lo devuelve a su madre, ante la admiración de todos.

Cuestiones:
a) En todo este episodio de rescate sorprende un detalle: ¡Cuánto tiempo ha estado cayendo el niño sin llegar al agua!... 28,4 segundos. Según eso, ¿cuál debería ser la altura de los saltos de Niágara?
b) Conociendo la altura real de la catarata (52 m), ¿cuánto duraría como máximo la caída?
c) Desde que Superman se lanza al vacío hasta que toma entre sus brazos al niño en
la película transcurren 10 seg. Considerando la altura real de Niágara, ¿qué velocidad llevó Superman (en km/h)?

Comentario:
Esta escena no plantea explícitamente problema alguno, pero es la mirada mate-
mática la que permite plantearse las anteriores preguntas y obtener divertidas con-
clusiones. Así, según el tiempo de caída del niño y aplicando la conocida fórmula
h = 1/2.g.t² , los saltos de Niágara deberían medir casi 4 km de altura (3.952 m). En la realidad, esa caída no duraría más que 3,26 segundos y, con una velocidad de
sólo 18,72 km/h, quedarían en entredicho los superpoderes de Superman.

Amor y letras (Josh Radnor, 2012)¹

Nivel: Bachillerato.

Tema: Funciones.

Contenidos: Porcentajes. Ecuaciones de primer grado. Funciones. Límites en el infinito. Asíntotas horizontales.

Argumento: Jesse, un hombre de 35 años se ha enamorado de Zibby, una chica de 19. Preocupado por la diferencia de edad, hace cuentas.

Voz en off: Cuando yo tenía 19, ella tenía 3 (cabecea desalentado). Cuando yo tenía 16, ella tenía 0 (se da un cabezazo contra la mesa). Cuando yo tenga 50, ella tendrá 34 (cabecea conforme). Cuando yo tenga 87, ella tendrá 71 (abre mucho los ojos).

Cuestiones:
a) Según las cuentas de Jesse, conforme pasan los años, la diferencia de edad entre ambos se nota menos. Comprobémoslo en porcentajes y usando ecuaciones: ¿Cuándo la edad de Jesse sería el doble de la de Zibby? ¿Cuándo sería un 50% mayor? ¿Y un 25% mayor? ¿Y un 10% mayor?
b) Expresa mediante una función f (x) la relación entre las edades de Jesse y Zibby.
c) Utiliza dicha función para expresar los resultados obtenidos en la cuestión a).
d) Calcula el límite de esa función suponiendo que el número de años fuera ilimitado.
e) Representa la gráfica de f (x). ¿Qué característica tiene relacionada con el anterior?

Comentario:
Esta escena ofrece un caso de tipo intermedio entre los de las dos precedentes. El protagonista comienza a analizar su problema y lo hace con aritmética simple. Nuestra mirada matemática lo lleva más lejos, casi hasta la paradoja, mediante un límite funcional.

La relación de edades viene dada por al función f (x) = (x+16)/x. Suponiendo un paso de los años ilimitado:

La consecuencia de ese límite es que, en el caso de que fuera posible tener una vida ilimitada, llegaría un momento en el que Jesse y Ziby casi tendrían la misma edad. El infinito es sorprendente y en él se quiebra nuestra experiencia de un mundo finito. Sin embargo, podemos intuirlo mediante los límites, como en el caso anterior.

Gráficamente: Cuando x → ∞, la función se aproxima más y más a la recta y = 1, sin llegar al contacto. Se dice que esa recta es una asíntota horizontal de la función en el infinito.

Conclusión

En su carta póstuma, escribía el poeta Vladimir Mayakovski (1893-1930): “La barca del amor naufragó contra la vida cotidiana”. La rutina puede llevar las mejores intenciones al naufragio. El profesorado de Matemáticas tiene por delante una hermosa tarea, provocar y facilitar en los estudiantes el crecimiento de un pensamiento racional que, a lo largo de sus vidas, les permita comprender las situaciones y tomar decisiones. Pero para llevar esa tarea a buen puerto, debe vencer demasiados prejuicios,  tópicos y temores contra las matemáticas. En ese empeño, cualquier recurso debería ser explorado. También el cine, que puede ser un medio efi caz para, de vez en cuando, combatir la peligrosa rutina y resolver con las matemáticas situaciones imaginadas que nos sorprenden, como en la vida misma.

Notas:

1. A partir de un post de DA BEAT en el blog “No solo Mates” (nosolomates.es) (25/01/14).

Referencias

• AUBANELL, A. (2014). “Carta a quien empieza en el oficio de enseñar matemáticas”.

Sobre la matemática en el cine

• POBLACIÓN, A.J. (2005-2017). Sección “Cine y matemáticas”. En Portal Divulgamat. RSME.
• POBLACIÓN, A.J. (2006). “Las matemáticas en el cine”. Granada: Proyecto Sur–RSME.
• POLSTER, B. y ROSS, M. (2012). “Math goes to the movies”. Baltimore (MD, EE.UU.): The Johns Hopkins UP.
• SINGH, S. (2013). “Los Simpson y las matemáticas”. Barcelona: Ariel.
• SORANDO, J.M. (2003-2017). Sección “Cine”. En Portal Matemáticas en tu mundo.
• SORANDO, J.M. (2015). “Aventuras matemáticas en el cine”. Córdoba: Guadalmazán.
• SORANDO J.M. (2016). “Cine y matemáticas: Resolviendo problemas”. Córdoba: Guadalmazán.

Sobre el cine como recurso para la enseñanza y aprendizaje de las matemáticas

• BELTRÁN, P. (2015). “Series y largometrajes como recurso didáctico en Educación Secundaria”. Tesis doctoral. Facultad de Educación de la UNED.
• Blog “Cinemaths Paradise”.
• Grupo Cinemat (2009). “Matemáticas de cine”. Valencia: Generalitat Valenciana.
• MARTÍN, A. y MARTÍN M. (2007-2017). Web “Mathsmovies”.
• POBLACIÓN, A.J. (2009-2017). Sección “Cine y matemáticas”. En Uno. Revista de Didáctica de las Matemáticas. Barcelona: Graó.
• REQUENA, A. (2010-2014). Blog “Matemáticas de cine”.
• SORANDO, J.M. (2004-2014). Sección “Cinemateca”. En Suma, revista sobre la enseñanza y el aprendizaje de las matemáticas. FESPM.
• SORANDO, J.M. (2010). “Cine y Matemáticas”. En DVD Escuela de Educación Matemática “Miguel de Guzmán”. MEC.
• SORANDO, J.M. (2011). “Aventuras y Matemáticas. De cine”. En Materiales didácticos del proyecto “Ven x más matemáticas”. MEC-FESPM.
• SORANDO, J.M. (2014). “100 Escenas de cine y televisión para la clase de Matemáticas”. Badajoz: FESPM.
• VV.AA. (2012). Monográfico “Videoclips y matemáticas”. En Uno. Revista de Didáctica de las
  Matemáticas, nº 60. Barcelona: Graó.

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